Hydraulika05, Mechanika Płynów
s
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Ćwiczenie nr 5
„Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego - obliczenia przepływów”.
Równanie ciągłości
Równanie, które w ogólny sposób wyraża zasadę zachowania masy dla układu przepływowego
Odpływ
2
v
2
dA
2
1
v
1
dA
1
0
0
dA
1
różniczkowa powierzchnia przez którą płyn wpływa (przekrój wlotowy strugi)
różniczkowa powierzchnia przez którą płyn wypływa (przekrój wylotowy strugi)
Jeżeli
=const (płyn nieściśliwy), to równanie upraszcza się do postaci
0
dA
,
co oznacza, że różniczkowy wydatek objętościowy płynu jest stały
const
2
2
v
1
dA
1
0
dQ
v
dA
2. Strumień płynu (płyn w rurce prądu o dużym przekroju poprzecznym)
2
(
v
2
n
ˆ
2
)
dA
2
1
(
v
1
n
)
dA
1
0
0
A
2
A
1
A
1
powierzchnia przez którą płyn wpływa (przekrój wlotowy strumienia) (
v
1
ˆ
1
<0)
A
2
powierzchnia przez którą płyn odpływa (przekrój wylotowy strumienia) (
v
2
ˆ
2
>0)
wektor o długości jednostkowej prostopadły do różniczkowej powierzchni
dA
i
Całki podwójne symbolizują sumowanie po wszystkich różniczkowych elementach powierzchni.
Jeżeli
=const, to równanie upraszcza się do postaci
0
(
v
2
n
ˆ
2
)
dA
2
(
v
1
n
ˆ
1
)
dA
1
0
,
A
2
A
1
co oznacza, że wydatek objętościowy płynu jest stały
const
Q
v
A
v
n
ˆ
dA
,
A
gdzie
v
to prędkość średnia płynu w przekroju poprzecznym strumienia.
3. Układ przepływowy o zmiennej objętości i płyn nieściśliwy
Q
Q
dV
0
.
2
1
dt
Równanie Bernoulliego
Równanie, które wyraża zasadę zachowania energii dla jednostkowej masy płynu w przepływie
potencjalnym płynu nielepkiego (
=0)
v
2
2
v
2
1
2
dp
(
U
U
)
(
)
ρ
,
2
1
2
1
2
t
1
v
). Pierwszy wyraz po
lewej stronie równania to zmiana energii kinetycznej płynu, drugi wyraz to zmiana energii
potencjalnej, trzeci to akumulacja energii kinetycznej. Prawa strona równania to praca sił ciśnienia.
Podstawowe uproszczenia:
1. przepływ w polu grawitacyjnym (oś
z
pionowa i skierowana do góry)
to potencjał prędkości (
grad
U
g
z
,
2. przepływ w przewodzie o stałym przekroju
v ,
x
3. przepływ stacjonarny
0
,
t
Ćwiczenie nr 5, strona 1
Dopływ+Akumulacja=0
1. Struga płynu (płyn w rurce prądu o różniczkowym przekroju poprzecznym)
dA
2
v
ˆ
1
ˆ
gdzie
U
to potencjał sił masowych, a
2
dp
p
2
p
4. przepływ nieściśliwy
=const
1
.
1
W wyniku zastosowania tych uproszczeń uzyskujemy:
1. postać energetyczną równania Bernoulliego
v
2
1
p
1
gz
v
2
2
p
2
gz
,
1
2
2
2
2. postać wysokościową równania Bernoulliego
v
2
1
p
1
z
v
2
2
p
2
z
,
1
2
2
g
g
2
g
g
3. postać ciśnieniową równania Bernoulliego
v
2
1
p
gz
v
2
2
p
gz
.
2
1
1
2
2
2
Zadanie 1
Fontanna zasilana jest wodą ze zbiornika ciśnieniowego. Różnica poziomów pomiędzy lustrem
cieczy w zbiorniku a wylotem dyszy fontanny wynosi
h
, nadciśnienie panujące w zbiorniku wynosi
p
n
a średnica dyszy wynosi
d
. Obliczyć:
a) wysokość na jaką zostanie wyrzucona woda z fontanny,
b) wydajność pompy zasilającej zbiornik w ten sposób, że poziom cieczy w zbiorniku nie ulega
zmianie.
wypływa ze zbiornika przez rurociąg o średnicy
D
, do którego wlot znajduje się
w dnie zbiornika. Wysokość lustra cieczy w zbiorniku wynosi
h
1
zaś długość pionowego odcinka
rurociągu wynosi
h
2
. W poziomym odcinku rurociągu zainstalowana jest zwężka Venturiego o
średnicy gardzieli
d
. Do otworów impulsowych przed zwężką i w jej gardzieli dołączony jest
manometr typu U-rurka. Za zwężką rurociąg biegnie przez pewien odcinek poziomo, ale jego
koniec o długości
h
3
jest poprowadzony pionowo do drugiego zbiornika. Wylot rurociągu
umieszczony jest
h
4
metrów pod powierzchnią cieczy w dolnym zbiorniku. Obliczyć:
a) wydatek objętościowy cieczy,
b) różnicę poziomów cieczy manometrycznej o gęstości
m
,
c) maksymalne przewężenie gardzieli zwężki, przy którym nie wystąpi kawitacja.
Zadanie 3
Ciecz przepływa przez lewar łączący zbiornik górny ze zbiornikiem dolnym. Różnica poziomów
cieczy w zbiornikach wynosi
h
, średnica lewara wynosi
d
, zaś wylot lewara znajduje się pod
powierzchnią cieczy w zbiorniku dolnym. Wyznaczyć:
a) wydatek objętościowy cieczy,
b) rozkład ciśnienia wzdłuż lewara,
c) warunek na to, aby w lewarze nie wystąpiła kawitacja.
Całość zilustrować wykresem wysokości ciśnienia i energii.
=60
o
z poziomem. Rura odpływowa ma długość
L
=1.2 m i rozszerza się stopniowo
ku swojemu wylotowi tak, że średnica wylotu wynosi
D
=0.1 m. Zaniedbując wszelkie opory
przepływu wody oblicz:
a) minimalną średnicę wlotu do rury odpływowej,
d
, przy której nie nastąpi kawitacja,
b) wydatek objętościowy wody wypływającej ze zbiornika.
Ćwiczenie nr 5, strona 2
Zadanie 2
Ciecz o gęstości
Zadanie 4
W otwartym zbiorniku znajduje się woda o temperaturze
t
=18
o
C. Wysokość lustra cieczy nad dnem
zbiornika wynosi
H
=2.3 m. Tuż przy dnie zbiornika znajduje się wlot do rury odpływowej, której
oś tworzy kąt
H
Ćwiczenie nr 5, strona 3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]